Unendlichkeiten und Definierbarkeit: Forschung zu den Grenzen der Mathematik

15. April 2026, von MIN-Dekanat

Foto: UHH/MIN/Latos

PD Dr. Philipp Moritz Lücke

Ein internationales Team unter Beteiligung des Fachbereichs Mathematik der Universität Hamburg hat in einer aktuellen Arbeit neue Zusammenhänge zwischen sehr großen Unendlichkeiten und der Struktur des mathematischen Universums aufgezeigt. Im Zentrum steht die Frage, ob alle mathematischen Objekte konkret definierbar sind. Die Forschenden haben ihre Resultate gerade in „Proceedings of the National Academy of Sciences“ vorgestellt und diskutieren darin die grundlegenden Konsequenzen für das Verständnis von Unendlichkeiten.

Ausgangspunkt für diese Arbeit war das Axiomensystem ZFC, das seit rund einem Jahrhundert als formales Fundament für die gesamte Mathematik dient. Die Gödel‘schen Unvollständigkeitssätze zeigen, dass die Axiome von ZFC nicht alle mathematischen Aussagen beweisen oder widerlegen können. Die vorliegende Arbeit leistet einen Beitrag zur Suche nach neuen Axiomen für die Mathematik, die von ZFC offengelassene Fragen auf kanonische Weise beantworten.

Im Fokus der Untersuchung stehen extrem große Unendlichkeiten, sogenannte exacting cardinals. Diese sind so definiert, dass ihre Existenz starke Symmetrien innerhalb des mathematischen Universums bedingt und dadurch weitreichende Auswirkungen auf Fragestellungen hat, die durch ZFC nicht beantwortet werden. Insbesondere führt die Existenz von exacting cardinals dazu, dass sich das mathematische Universum chaotisch verhält, indem sie das Vorhandensein von mathematischen Objekten impliziert, die nicht konkret definiert werden können.

Bis jetzt waren Forschende davon ausgegangen, dass die Existenz großer Unendlichkeiten mit einer starken Strukturiertheit des mathematischen Universums kompatibel ist. Allerdings erfüllen auch exacting cardinals unsere bisherigen Anforderungen an große Unendlichkeiten und verhindern eine solche Ordnung. „Unsere Ergebnisse legen also nahe, dass wir fundamentale Aspekte unserer jetzigen Vorstellungen über das Verhalten großer Unendlichkeiten ändern müssen“, sagt Dr. Philipp Lücke vom Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg. „Wir wissen noch nicht, in welcher Weise; doch ungeachtet des Ausgangs – ob Chaos oder Ordnung – weitere Forschung in dieser Richtung verspricht tiefgreifende Einsichten in das Wesen der Unendlichkeit.“